Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} + y^{5} = 30 x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{5}) = \frac{d}{d x} (30 x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + y^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x y$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$30 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$30 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$30 (x y' + y)$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$30 x y' + 30 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' = 30 x y' + 30 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $30 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y$

Étape 5.2

Soustrayez $5 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Étape 5.3

Factorisez $5 y'$ à partir de $5 y^{4} y' - 30 x y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $5 y'$ à partir de $5 y^{4} y'$ .

$5 y' y^{4} - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Étape 5.3.2

Factorisez $5 y'$ à partir de $- 30 x y'$ .

$5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Étape 5.3.3

Factorisez $5 y'$ à partir de $5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x)$ .

$5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ par $5 (y^{4} - 6 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ par $5 (y^{4} - 6 x)$ .

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{4} - 6 x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $30$ et $5$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $30 y$ .

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} - \frac{x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$