Calcul infinitésimal Exemples

$2 x \sqrt{x} \sin (x)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Étape 2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x) \sin (x)]$

Étape 2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) \sin (x)]$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1} \sin (x)]$

Étape 2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sin (x)]$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}} \sin (x)]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 11

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 12

Associez $\sin (x)$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x)) + 2 \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Associez $2$ et $\frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Étape 13.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{6 (\sin (x) (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Étape 13.2.3

Factorisez $2$ à partir de $6 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 13.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 13.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 13.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 13.2.4.4

Divisez $3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$