Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ comme ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.6.2.2

Placez ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Étape 4.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \tan^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Étape 4.6.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Étape 4.6.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 4.8

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 4.8.2

Associez $\tan (x)$ et $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4.8.3

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4.8.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4.8.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4.9

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

Étape 4.10

Associez $\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.2

Réorganisez les termes.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.4.1

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.11.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.11.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

Étape 4.11.4.2

Simplifiez

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 4.11.5

Annulez le facteur commun à $\sec^{2} (x)$ et $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.5.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

Étape 4.11.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Étape 4.11.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Étape 4.11.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

Étape 4.11.5.2.4

Divisez $\sec (x) \tan (x)$ par $1$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \sec (x) \tan (x)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$