Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} e^{- 2 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 2 x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$

Étape 3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$