Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Étape 1.2

Comme $\frac{6}{5}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{6}{5}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- \frac{6}{5}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$ .

$0 - \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 20 t$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{u} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Étape 2.3

Comme $- 20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 20 t$ par rapport à $t$ est $- 20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \cdot 1))$

Étape 2.5

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \cdot - 20)$

Étape 2.6

Déplacez $- 20$ à gauche de $e^{- 20 t}$ .

$0 - \frac{6}{5} (- 20 \cdot e^{- 20 t})$

Étape 2.7

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$0 + 20 (\frac{6}{5}) e^{- 20 t}$

Étape 2.8

Associez $20$ et $\frac{6}{5}$ .

$0 + \frac{20 \cdot 6}{5} e^{- 20 t}$

Étape 2.9

Multipliez $20$ par $6$ .

$0 + \frac{120}{5} e^{- 20 t}$

Étape 2.10

Associez $\frac{120}{5}$ et $e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{120 e^{- 20 t}}{5}$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun à $120$ et $5$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $5$ à partir de $120 e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5}$

Étape 2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 (1)}$

Étape 2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 \cdot 1}$

Étape 2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{24 e^{- 20 t}}{1}$

Étape 2.11.2.4

Divisez $24 e^{- 20 t}$ par $1$ .

$0 + 24 e^{- 20 t}$

Étape 3

Additionnez $0$ et $24 e^{- 20 t}$ .

$24 e^{- 20 t}$