Calcul infinitésimal Exemples

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \ln (x^{2} y^{2})$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ et $7$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Étape 2.9

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2

Associez des termes.

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Étape 2.10.2.1

Associez $2$ et $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.4

Associez $y$ et $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.5

Associez $\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ et $y'$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.6

Déplacez $14$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.7

Déplacez $14$ à gauche de $y$ .

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.8

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 2.10.2.8.1

Factorisez $y$ à partir de $14 y x^{2} y'$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.2.8.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.9

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.10.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Étape 2.10.2.10

Associez $2$ et $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Étape 2.10.2.11

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Étape 2.10.2.12

Associez $y^{2}$ et $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

Étape 2.10.2.13

Associez $\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ et $x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

Étape 2.10.2.14

Déplacez $14$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Étape 2.10.2.15

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 2.10.2.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Étape 2.10.2.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

Étape 2.10.2.16

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.10.2.16.1

Factorisez $x$ à partir de $14 x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

Étape 2.10.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.2.16.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Étape 2.10.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Étape 2.10.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $\frac{14}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $- \frac{14}{x} y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Associez $y$ et $\frac{14}{x}$ .

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

Étape 5.3.2.1.2

Déplacez $14$ à gauche de $y$ .

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ par $14$ .

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Étape 5.4.3.2

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{14 y}{x}$ dans le numérateur.

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Étape 5.4.3.2.2

Factorisez $14$ à partir de $- 14 y$ .

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Étape 5.4.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Étape 5.4.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x}$

Étape 5.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$