Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 3 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $3 x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{3} + C}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$e^{x^{3} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{3}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{3}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Étape 6.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 6.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 6.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Étape 6.1.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 6.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ par $e^{x^{3}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ par $e^{x^{3}}$ .

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{3}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{3}}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$