Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (3 x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (3 x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{1 + {(3 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{1 + {(3 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 3^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Associez $3$ et $\frac{1}{1 + 9 x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \cdot 1$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{9 x^{2} + 1}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$