Calcul infinitésimal Exemples

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{4} - 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$4 x^{3} - 18 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 5.1.2

Factorisez $4 y y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 5.1.3

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ par $4 y (y^{2} - 2)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ par $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 2$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$