Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = x$ et $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $e^{x} x' - e^{x} x x'$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Factorisez $x'$ à partir de $e^{x} x'$ .

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.2.1.2

Factorisez $x'$ à partir de $- e^{x} x x'$ .

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.2.1.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ .

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} - e^{x} x$ .

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Étape 3.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.2.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.2.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ .

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 3.6.3.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $x' e^{x} (1 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 3.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 3.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Étape 3.6.3.2.4

Divisez $x' e^{- x} (1 - x)$ par $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Étape 3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Étape 3.6.5

Multipliez $x'$ par $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Étape 3.6.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Étape 3.6.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ .

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Étape 5.3

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $x' e^{- x}$ à partir de $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ .

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ par $e^{- x} (1 - x)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ par $e^{- x} (1 - x)$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$