Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

Étape 1.1.2

Comme l’exposant $- x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{- x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

Étape 1.1.3

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $- e^{- x}$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

Étape 2

Comme la fonction $e^{- x}$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

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Étape 2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $- 1$ retiré.

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

Étape 2.2

Comme l’exposant $- x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{- x}$ approche de $\infty$ .

$\infty$

Étape 2.3

Comme la fonction $e^{- x}$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

$- \infty$