Calcul infinitésimal Exemples

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $\frac{27}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{27}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.3

Associez $2$ et $\frac{27}{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.4

Multipliez $2$ par $27$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.5

Associez $\frac{54}{2}$ et $x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $54 x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.3.6.2.4

Divisez $27 x$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $P (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $27 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 60$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 5, 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $125$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $\frac{27}{2} \cdot 25$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Associez $\frac{27}{2}$ et $25$ .

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Multipliez $27$ par $25$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $- 60$ par $5$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Écrivez $- 125$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 125}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 125}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Étape 1.4.1.2.2.4

Écrivez $- 300$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

Étape 1.4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 300}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

Étape 1.4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{- 300}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

Étape 1.4.1.2.2.7

Écrivez $100$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

Étape 1.4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{100}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.9

Multipliez $\frac{100}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 125$ par $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $- 300$ par $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Multipliez $100$ par $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Additionnez $- 250$ et $675$ .

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Soustrayez $600$ de $425$ .

$\frac{- 175 + 200}{2}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Additionnez $- 175$ et $200$ .

$\frac{25}{2}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $27$ par $8$ .

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

Étape 1.4.2.2.1.6

Multipliez $- 60$ par $4$ .

$- 64 + 216 - 240 + 100$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Additionnez $- 64$ et $216$ .

$152 - 240 + 100$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $240$ de $152$ .

$- 88 + 100$

Étape 1.4.2.2.2.3

Additionnez $- 88$ et $100$ .

$12$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(5, \frac{25}{2})$

Étape 3

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 4

Comparez les valeurs $P (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $P (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $P (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(5, \frac{25}{2})$

Aucun minimum absolu

Étape 5