Calcul infinitésimal Exemples

$\int (- 6 x + 2) {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{3} d x$

Étape 1

Laissez $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ . Alors $d u = (- 6 x + 2) d x$ , donc $\frac{1}{- 6 x + 2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2 x + 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 x + 2 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $- 6 x + 2$ et $0$ .

$- 6 x + 2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{3} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{1}{4} {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{4} + C$