Calcul infinitésimal Exemples

$y = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ et $g (x) = \sec (x) - \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) - \tan (x)] + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 3.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 3.5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.7

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.8

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.1.1

Développez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.9.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.9.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.1.2.1.1

Multipliez $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 3.9.1.2.1.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.3

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.1.2.1.3.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.3.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Étape 3.9.1.2.1.3.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.4

Multipliez $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 3.9.1.2.1.4.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.4.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.2

Réorganisez les facteurs de $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.3

Soustrayez $\sec^{2} (x) \tan (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$0 - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.2.4

Soustrayez $\sec^{3} (x)$ de $0$ .

$- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

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Étape 3.9.1.3.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.3.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.3.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec (x) (- 1 \cdot 1) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec (x) \cdot - 1 + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sec (x)$ .

$- 1 \cdot \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.10

Réécrivez $- 1 \sec (x)$ comme $- \sec (x)$ .

$- \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.11

Développez $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.9.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 3.9.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.9.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.1.12.1.1

Multipliez $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 3.9.1.12.1.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.1.12.1.2.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 3.9.1.12.1.2.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.3

Multipliez $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 3.9.1.12.1.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.9.1.12.2

Réorganisez les facteurs de $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3.9.1.12.3

Soustrayez $\sec^{2} (x) \tan (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- \sec (x) + 0 + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Étape 3.9.1.12.4

Additionnez $0$ et $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Étape 3.9.1.13

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

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Étape 3.9.1.13.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Étape 3.9.1.13.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$

Étape 3.9.1.13.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 3.9.1.14

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$

Étape 3.9.1.15

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$- \sec (x) + \sec (x)$

Étape 3.9.2

Additionnez $- \sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 0$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$