Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + x e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 3.6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.6.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

Étape 3.7.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} + x e^{x}$ .

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Étape 3.7.2.1

Multipliez par $1$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

Étape 3.7.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

Étape 3.7.3

Multipliez $x e^{x} + 2 e^{x}$ par $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Étape 3.7.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Étape 3.7.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Étape 3.7.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

Étape 3.7.4.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Étape 3.7.5

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Étape 3.7.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{1 + x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$