Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

Étape 1.2.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$y = \sqrt{25}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

Étape 1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 9}$ comme ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.7.3

Placez ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez les termes.

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Étape 2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 2.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 2.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.12

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.13.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.13.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.13.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{5^{1}}$

Étape 2.13.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{4}{5}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{4}{5}$ et un point donné, tel que $(4, 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{4}{5}$ et $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Étape 3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.3.2.3

Associez $5$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 16$ et $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

Étape 4