Calcul infinitésimal Exemples

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ est ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3}$.

Différenciez.

Élevez ${\displaystyle x}$ à la puissance ${\displaystyle 1}$.

Utilisez la règle de puissance ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ pour associer des exposants.

Additionnez ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 2}$.

Simplifiez

Comme ${\displaystyle 6}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{6x}{{(x^2+3)}^2}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{{(x^2+3)}^2}\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ est ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)={(x^2+3)}^2}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3}$.

Simplifiez en factorisant.

Annulez les facteurs communs.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle x^2+3}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[3\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=2}$.

Comme ${\displaystyle 3}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 3}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Simplifiez l’expression.

Élevez ${\displaystyle x}$ à la puissance ${\displaystyle 1}$.

Élevez ${\displaystyle x}$ à la puissance ${\displaystyle 1}$.

Utilisez la règle de puissance ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ pour associer des exposants.

Additionnez ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 1}$.

Soustrayez ${\displaystyle 4x^2}$ de ${\displaystyle x^2}$.

Associez ${\displaystyle 6}$ et ${\displaystyle \frac{-3x^2+3}{{(x^2+3)}^3}}$.

Simplifiez

Déterminez la dérivée première.

La dérivée première de ${\displaystyle f\left(x\right)}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{6x}{{(x^2+3)}^2}}$.

Définissez la dérivée première égale à ${\displaystyle 0}$.

Définissez le numérateur égal à zéro.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle 6x=0}$ par ${\displaystyle 6}$ et simplifiez.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Simplifiez le numérateur.

Simplifiez le dénominateur.

Annulez le facteur commun à ${\displaystyle 18}$ et ${\displaystyle 27}$.

Remplacez la variable ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 0}$ dans l’expression.

Simplifiez le résultat.