Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (| \csc (x) |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | \csc (x) |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| \csc (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| \csc (x) |$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\csc (x)$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\csc (x)$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3

Multipliez $\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |}$ par $\frac{1}{| \csc (x) |}$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) | | \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 6

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\csc (x)}{| {\csc (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 9

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 10

Associez $\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ et $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Étape 11

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Étape 12

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\csc (x)}^{1 + 1}}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Étape 14

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Étape 15

Associez $\cot (x)$ et $\frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ .

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun de $\csc^{2} (x)$ .

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

Étape 16.2.2

Divisez $\cot (x)$ par $1$ .

$- \cot (x)$