Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) (2 - x)}{(2 + x) (1 - x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} (4 + 5 x) (2 - x)}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 (2 - x) + 5 x (2 - x)}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 \cdot 2 + 4 (- x) + 5 x (2 - x)}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 \cdot 2 + 4 (- x) + 5 x \cdot 2 + 5 x (- x)}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 \cdot 2 + 4 \cdot - 1 x + 5 \cdot 2 x + 5 x (- x)}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Déplacez $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 \cdot 2 + 4 \cdot - 1 x + 5 \cdot 2 x + 5 \cdot - 1 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + 4 \cdot - 1 x + 5 \cdot 2 x + 5 \cdot - 1 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.4.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 4 x + 5 \cdot 2 x + 5 \cdot - 1 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.4.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 4 x + 10 x + 5 \cdot - 1 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.4.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 4 x + 10 x - 5 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 4 x + 10 x - 5 (x^{1} x)}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 4 x + 10 x - 5 (x^{1} x^{1})}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 4 x + 10 x - 5 x^{1 + 1}}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 4 x + 10 x - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.8.2

Additionnez $- 4 x$ et $10 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + 6 x - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.3.1

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $- 5 x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 5 x^{2} + 6 x}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.8.3.2

Déplacez $8$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 5 x^{2} + 6 x + 8}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2.9

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} (2 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 (1 - x) + x (1 - x)}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 1 + 2 (- x) + x (1 - x)}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 1 + 2 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}$

Étape 1.1.3.4.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}$

Étape 1.1.3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 + 2 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}$

Étape 1.1.3.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - 2 x + 1 x - 1 x \cdot x}$

Étape 1.1.3.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - 2 x + x - 1 x \cdot x}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - 2 x + x - (x \cdot x)}$

Étape 1.1.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - 2 x + x - (x^{1} x)}$

Étape 1.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - 2 x + x - (x^{1} x^{1})}$

Étape 1.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - 2 x + x - x^{1 + 1}}$

Étape 1.1.3.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.3.9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - 2 x + x - x^{2}}$

Étape 1.1.3.9.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x - x^{2}}$

Étape 1.1.3.9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.9.3.1

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- x^{2}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x^{2} - x}$

Étape 1.1.3.9.3.2

Déplacez $2$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} - x + 2}$

Étape 1.1.3.10

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 1.1.3.11

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{- \infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) (2 - x)}{(2 + x) (1 - x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 + 5 x) (2 - x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 + 5 x) (2 - x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 + 5 x$ et $g (x) = 2 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) \frac{d}{d x} [2 - x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) \frac{d}{d x} [- x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 5 x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $4 + 5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1 \cdot (4 + 5 x) + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.10

Réécrivez $- 1 (4 + 5 x)$ comme $- (4 + 5 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + (2 - x) \frac{d}{d x} [4 + 5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.12

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + (2 - x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.14

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + (2 - x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.15

Déplacez $5$ à gauche de $2 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + 5 \cdot (2 - x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + 5 (2 - x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.17

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (4 + 5 x) + 5 (2 - x)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18

Simplifiez

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Étape 1.3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1 \cdot 4 - (5 x) + 5 (2 - x)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1 \cdot 4 - (5 x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.18.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 - (5 x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18.3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 - 5 x + 5 \cdot 2 + 5 (- x)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18.3.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 - 5 x + 10 + 5 (- x)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18.3.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 - 5 x + 10 - 5 x}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18.3.5

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x + 6 - 5 x}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.18.3.6

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{\frac{d}{d x} [(2 + x) (1 - x)]}$

Étape 1.3.19

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 + x$ et $g (x) = 1 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{(2 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.20

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{(2 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.21

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{(2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.22

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{(2 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.23

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{(2 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.24

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{(2 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.25

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{(2 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.26

Déplacez $- 1$ à gauche de $2 + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- 1 \cdot (2 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.27

Réécrivez $- 1 (2 + x)$ comme $- (2 + x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- (2 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 1.3.28

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- (2 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.29

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- (2 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.30

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- (2 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.31

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- (2 + x) + (1 - x) \cdot 1}$

Étape 1.3.32

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- (2 + x) + 1 - x}$

Étape 1.3.33

Simplifiez

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Étape 1.3.33.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- 1 \cdot 2 - x + 1 - x}$

Étape 1.3.33.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.33.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- 2 - x + 1 - x}$

Étape 1.3.33.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- x - 1 - x}$

Étape 1.3.33.2.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 x + 6}{- 2 x - 1}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 10 x}{x} + \frac{6}{x}}{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 10 x}{x} + \frac{6}{x}}{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.2

Divisez $- 10$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 + \frac{6}{x}}{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 + \frac{6}{x}}{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 10 + \frac{6}{x}}{- 2 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 10 + \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 10 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.6

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 10 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- 10 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 10 + 6 \cdot 0}{- lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 10 + 6 \cdot 0}{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- 10 + 6 \cdot 0}{- 2 - 0}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $- 10 + 6 \cdot 0$ et $- 2 - 0$ .

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Étape 7.1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- 10 + 6 \cdot 0}{- 1 (2) - 0}$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 0$ .

$\frac{- 10 + 6 \cdot 0}{- 1 (2) - (0)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (0)$ .

$\frac{- 10 + 6 \cdot 0}{- 1 (2 + 0)}$

Étape 7.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 (- 5) + 6 \cdot 0}{- 1 (2 + 0)}$

Étape 7.1.5

Factorisez $2$ à partir de $6 \cdot 0$ .

$\frac{2 (- 5) + 2 (3 \cdot 0)}{- 1 (2 + 0)}$

Étape 7.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5) + 2 (3 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 5 + 3 \cdot 0)}{- 1 (2 + 0)}$

Étape 7.1.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (2 + 0)$ .

$\frac{2 (- 5 + 3 \cdot 0)}{2 (- 1 (1 + 0))}$

Étape 7.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 5 + 3 \cdot 0)}{2 (- 1 (1 + 0))}$

Étape 7.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 + 3 \cdot 0}{- 1 (1 + 0)}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{- 5 + 0}{- 1 (1 + 0)}$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$\frac{- 5}{- 1 (1 + 0)}$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 5}{- 1 \cdot 1}$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 5}{- 1}$

Étape 7.5

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$5$