Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.11.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.13

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.14

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.15

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.15.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.15.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.15.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.15.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.16

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.18

Multipliez $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.19

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ par $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Étape 3.20

Additionnez $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ et $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$