Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.7.3

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.11.2

Multipliez $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 4.13

Déplacez $3$ à gauche de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Étape 4.14

Associez $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.14.1

Déplacez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.14.2

Pour écrire $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.3

Associez $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.15

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.16

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.16.1

Déplacez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.16.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.16.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.16.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17

Simplifiez $6 x^{2} {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2.2

Additionnez $x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$\frac{7 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $7 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $7 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (7 x) + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$\frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$