Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{4}$ et $g (y) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{4}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.6

Déplacez $4$ à gauche de $x + y$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.7

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

Étape 2.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Étape 2.8.5

Associez des termes.

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Étape 2.8.5.1

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Étape 2.8.5.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.5.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

Étape 2.8.5.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.8.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

Étape 2.8.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

Étape 2.8.5.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Étape 2.8.5.3

Additionnez $x^{4} x'$ et $4 x^{4} x'$ .

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Étape 2.8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

Étape 3.8

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - y$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

Étape 3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

Étape 3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Étape 3.9.4

Associez des termes.

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Étape 3.9.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Étape 3.9.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Étape 3.9.4.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Étape 3.9.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

Étape 3.9.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

Étape 3.9.4.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

Étape 3.9.4.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

Étape 3.9.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

Étape 3.9.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

Étape 3.9.4.10

Soustrayez $2 y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 3.9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3 y^{2} x'$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Étape 5.3

Factorisez $x'$ à partir de $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $5 x^{4} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Étape 5.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $4 x^{3} y x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $- 3 y^{2} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Étape 5.3.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Étape 5.3.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ par $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ par $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x y$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.2.8.1

Réécrivez $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ comme $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$