Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 4}$ comme ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.10

Placez ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.13

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.14

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.15

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.16

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.17

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.18

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.19

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.21

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.22

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Étape 2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $\sqrt{x^{2} - 4}$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $2$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$\infty$