Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x^{4} + 5$ . Alors $d u = 16 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x^{4} + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{4} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $16 x^{3}$ et $0$ .

$16 x^{3}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{16}$ et $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

Étape 2.2

Associez $\frac{4}{16}$ et $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u$ .

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 5

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 5.2

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$