Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 27}{20 x^{2} + 10 x + 9}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{2}} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2}} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{1} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.4

Divisez $5 x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $20$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $10 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{x \cdot 10}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{x \cdot 10}{x \cdot x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{x \cdot 10}{x \cdot x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{10}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{27}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 0}{20 + \frac{10}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 4

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{10}{x}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 0}{20 + 0 + \frac{9}{x^{2}}}$

Étape 5

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{9}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 0}{20 + 0 + 0}$

Étape 6

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction $\frac{5 x + 0}{20 + 0 + 0}$ approche de l’infini.

$\infty$