Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \cos (x)$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2} \cos (x))$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (x^{2} \cos (x))$ comme $\ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\ln (y) = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\cos (x))]$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 3.2.3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

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Étape 3.2.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.4.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 3.2.4.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \sec (x) (- \sin (x))$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = - \sec (x) \sin (x) + \frac{2}{x}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{2}{x}$

Étape 3.2.5.2.2

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}$

Étape 3.2.5.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \tan (x) + \frac{2}{x}$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (- \tan (x) + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Étape 5.3.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $x^{2} \cos (x)$ .

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Étape 5.3.4

Réécrivez l’expression.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cos (x)$ .

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \sin (x) x^{2} + 2 (x \cos (x))$

Étape 5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (x) x^{2} + 2 x \cos (x)$ .

$y' = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$