Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5}}{10}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2.4

Associez $\frac{5}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{6 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.8

Associez $- 3$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

Étape 3.9

Associez $\frac{- 3}{6}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

Étape 3.10

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

Étape 3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

Étape 3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

Étape 3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$