Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5 t^{2} + 7}{t^{\frac{4}{3}}} d t$

Étape 1

Retirez $t^{\frac{4}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (5 t^{2} + 7) {(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d t$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d t$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d t$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{- 4}{3}} d t$

Étape 2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3

Développez $(5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 5 t^{2} t^{- \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 5 t^{2 - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int 5 t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int 5 t^{\frac{6 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3.6.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$\int 5 t^{\frac{2}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Étape 3.7

Remettez dans l’ordre $5 t^{\frac{2}{3}}$ et $7 t^{- \frac{4}{3}}$ .

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} + 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 5

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{4}{3}}$ par rapport à $t$ est $- 3 t^{- \frac{1}{3}}$ .

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 \int t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ .

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez

$7 (- 3 \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ .

$7 \frac{- 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 (- \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.4

Associez $- 7$ et $\frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 7 \cdot 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.5

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$\frac{- 21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Étape 9.2.7

Associez $\frac{3}{5}$ et $t^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Étape 9.2.8

Associez $5$ et $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Étape 9.2.9

Multipliez $3$ par $5$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{15 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Étape 9.2.10

Factorisez $5$ à partir de $15 t^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Étape 9.2.11

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.11.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

Étape 9.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

Étape 9.2.11.4

Divisez $3 t^{\frac{5}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{5}{3}} + C$