Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\sin (x)}$ comme $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln (x^{\sin (x)})$ en déplaçant $\sin (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

Étape 3

Réécrivez $\sin (x) \ln (x)$ comme $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Étape 4.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

Étape 4.1.3.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $\frac{1}{\sin (x)}$ comme $\sin^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 4.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Étape 4.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Étape 4.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Étape 4.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

Étape 4.3.6.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

Étape 4.6

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

Étape 4.7

Séparez les fractions.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.8

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

Étape 4.9

Associez $\frac{\sin (x)}{x}$ et $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Étape 5

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.2.5.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2.5.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.2.5.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 6.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{0}{0}}$

Étape 6.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5

Simplifiez

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Étape 6.3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.5.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5.2.4

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5.2.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.5.2.5.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5.2.5.2

Réécrivez $\cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.5.2.5.3

Annulez les facteurs communs.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 6.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Pour écrire $\sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Étape 6.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Étape 6.5

Divisez $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Étape 7.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Étape 7.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Étape 7.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Étape 7.6

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Étape 7.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Étape 7.8

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

Étape 7.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 9.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 9.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 9.1.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

Étape 9.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{- \frac{0}{1}}$

Étape 9.3

Divisez $0$ par $1$ .

$e^{- 0}$

Étape 9.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$