Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Étape 2

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (t)$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $\ln (t)$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

Étape 5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

Étape 6.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\ln (t)}$ approche de $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Étape 6.4

Évaluez la limite.

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Étape 6.4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$0 + 1$

Étape 6.4.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$