Calcul infinitésimal Exemples

$\tan^{2} (n θ)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \tan (n θ)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (n θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (n θ)$ .

$2 \tan (n θ) \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \tan (θ)$ et $g (θ) = n θ$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $n θ$ .

$2 \tan (n θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d θ} [n θ])$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [n θ])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $n θ$ .

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (n θ) \frac{d}{d θ} [n θ])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $n$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $n θ$ par rapport à $θ$ est $n \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \cdot 1)$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $n$ par $1$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$

Étape 3.3.2

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$ .

$2 n \sec^{2} (n θ) \tan (n θ)$