Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + 2 y^{3} = 3 x + 2 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + 2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 2.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 6 y^{2} y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 + 2 y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y' + 3$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' = 2 y' + 3$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 y'$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $6 y^{2} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) - 2 y' = 3 - 2 x y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2}) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ par $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ par $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$