Calcul infinitésimal Exemples

$4 y^{2} + x y - 2 x^{2} = 3$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + x y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y^{2} + x y - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$8 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 y y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$8 y y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 4 x$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 y y' + x y' - 4 x + y$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$8 y y' + x y' - 4 x + y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y y' + x y' + y = 4 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$8 y y' + x y' = 4 x - y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $8 y y' + x y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $8 y y'$ .

$y' (8 y) + x (y') = 4 x - y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' (8 y) + y' (x) = 4 x - y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (8 y) + y' (x)$ .

$y' (8 y + x) = 4 x - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (8 y + x) = 4 x - y$ par $8 y + x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (8 y + x) = 4 x - y$ par $8 y + x$ .

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8 y + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - y}{8 y + x}$