Calcul infinitésimal Exemples

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ par rapport à $k$ est $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\sqrt{x}$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $k \sqrt{x}$ par rapport à $k$ est $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ .

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Étape 2.3

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{k}$ comme $k^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $x k^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $k$ est $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $k^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.10

Associez $x$ et $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.11

Placez $k^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$