Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Étape 2

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 2.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Étape 2.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Différenciez $\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ par $\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Étape 2.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + x e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.8.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 2.2.8.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.8.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Étape 2.2.8.2.2

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Étape 2.2.9

Simplifiez

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Étape 2.2.9.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} + x e^{x}$ .

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Étape 2.2.9.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.3

Multipliez $x e^{x} + 2 e^{x}$ par $\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Étape 2.2.9.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.4.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.5

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 2.2.9.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Étape 2.2.9.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

Étape 3

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$