Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Étape 3.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ et $y$ .

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 4.2.3

Associez $x$ et $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 4.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$