Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \tan (t)$ .

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.4

Réécrivez $4 \sec^{2} (t)$ comme ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.2.2

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1

Déplacez $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\sec^{2} (t)$ par $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Étape 4

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (t)$ et $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Étape 6

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Étape 7

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Étape 10

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Étape 11

Simplifiez en multipliant.

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Étape 11.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 11.3

Remettez dans l’ordre $\sec (t)$ et $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 12

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Étape 13

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 15

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 16

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Étape 18

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Étape 19

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 20

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 21

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 22

Simplifiez en multipliant.

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Étape 22.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 22.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 23

En résolvant $\int \sec^{3} (t) d t$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Étape 24

Multipliez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ par $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Étape 25

Simplifiez

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 26

Réécrivez $4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ comme $2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28

Simplifiez

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Étape 28.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ est $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.6

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Étape 28.1.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.9

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.10

Associez.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.6

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Étape 28.1.12.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.9

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Étape 28.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Étape 28.1.14

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Étape 28.2

Pour écrire $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Étape 28.3

Associez $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Étape 28.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 28.5

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Étape 28.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 28.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Étape 28.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Étape 28.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Étape 29

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$