Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (1 + x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Étape 6.2

Divisez $1$ par $1$ .

$e^{1}$

Étape 6.3

Simplifiez

$e$