Calcul infinitésimal Exemples

${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}]$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.1

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 8.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}])$

Étape 8.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}])$

Étape 8.3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}])$

Étape 8.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 15

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 16

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.3

Développez $(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 17.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 17.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 17.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 17.4.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.2.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.2.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x^{\frac{2}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot 1 \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 1}{x^{1}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.4

Simplifiez

$1 + \frac{- 1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.6

Associez.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.7

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.4.1.7.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{2}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.7.5

Divisez $2$ par $2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{1} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.8

Simplifiez $x^{1} \cdot 2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 17.4.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.4.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.4.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.4.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.4.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.4.1.13

Multipliez $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.4.1.14

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.4.1.14.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Étape 17.4.1.14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1 + 3}{2}}}$

Étape 17.4.1.14.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{2}}}$

Étape 17.4.1.14.4

Divisez $4$ par $2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Étape 17.4.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 17.4.2

Additionnez $- \frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$1 + 0 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 17.4.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$