Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 x^{3} + 7 x + 7}{8 x^{3} - 8 x + 5}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2

Divisez $- 6$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{x \cdot 7}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{8 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{8 + \frac{- 8 x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{8 + \frac{x \cdot - 8}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{8 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{8 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{8 + \frac{- 8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 6 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 6 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 6 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 6 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 4

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 8 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 8 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{8 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 6.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{8 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{8 - 8 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Étape 8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{8 - 8 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{- 6 + 7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{8 - 8 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{- 6 + 0 + 7 \cdot 0}{8 - 8 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Étape 10.1.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{- 6 + 0 + 0}{8 - 8 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Étape 10.1.3

Additionnez $- 6 + 0$ et $0$ .

$\frac{- 6 + 0}{8 - 8 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Étape 10.1.4

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$\frac{- 6}{8 - 8 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$\frac{- 6}{8 + 0 + 5 \cdot 0}$

Étape 10.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{- 6}{8 + 0 + 0}$

Étape 10.2.3

Additionnez $8 + 0$ et $0$ .

$\frac{- 6}{8 + 0}$

Étape 10.2.4

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{- 6}{8}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $8$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{8}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{4}$

Étape 10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3}{4}$

Forme décimale :

$- 0.75$