Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ comme $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ .

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.2

Développez $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2 (- \frac{1}{p^{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3.1.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3.1.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

Étape 1.3.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{p^{2}}$ par $1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

Étape 1.3.1.6.3

Multipliez $\frac{1}{p^{2}}$ par $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

Étape 1.3.1.6.4

Multipliez $p^{2}$ par $p^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.6.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

Étape 1.3.1.6.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 1.3.2

Soustrayez $\frac{2}{p^{2}}$ de $- \frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multipliez $- 2 \frac{2}{p^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $p$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $p$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 6.2

Retirez $p^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(p^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $p^{- 2}$ par rapport à $p$ est $- p^{- 1}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Retirez $p^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(p^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

Étape 8.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $p^{- 4}$ par rapport à $p$ est $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

Étape 10

Simplifiez

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$