Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.6.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.8

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.8.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.9

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - x^{- 2}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - x^{- 2}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{12}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$