Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} - 5 e^{- x^{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $- 5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{- x^{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$- 5 e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} - x^{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$- 5 e^{- lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{4} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Étape 1.4

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 5 e^{- {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $\frac{1}{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$- 5 e^{- {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$- 5 e^{- {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- 5 e^{- \frac{1^{4}}{2^{4}} - \frac{1}{4}}$

Étape 3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 5 e^{- \frac{1}{2^{4}} - \frac{1}{4}}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{1}{4}}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{4}{16}}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 e^{\frac{- 1 - 4}{16}}$

Étape 3.5

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- 5 e^{\frac{- 5}{16}}$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5 e^{- \frac{5}{16}}$

Étape 3.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{e^{\frac{5}{16}}}$

Étape 3.8

Associez $- 5$ et $\frac{1}{e^{\frac{5}{16}}}$ .

$\frac{- 5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Forme décimale :

$- 3.65807814 \dots$