Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $4 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Étape 5.2

Factorisez $4 y'$ à partir de $- 4 x y' + 4 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 y'$ à partir de $- 4 x y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 y y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 y' (- x) + 4 y' y$ .

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ par $4 (- x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ par $4 (- x + y)$ .

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- x + y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (- x + y)$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{1}{- x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- x + y) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{- x + y}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Étape 5.3.3.5

Pour écrire $\frac{y}{- x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.3.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (- x + y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Multipliez $\frac{y}{- x + y}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

Étape 5.3.3.6.2

Réorganisez les facteurs de $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.9.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.9.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

Étape 5.3.3.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

Étape 5.3.3.9.7

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

Étape 5.3.3.9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

Étape 5.3.3.9.9

Réécrivez $- (x - y)$ comme $- 1 (x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Étape 5.3.3.9.10

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Étape 5.3.3.9.11

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$