Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 3$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = - 3$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (- 3) + f' (- 3) (x - - 3)$

Étape 3

Évaluez $f (- 3)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Étape 3.2

Simplifiez ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 - {(- 3)}^{2} + 5$

Étape 3.2.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 27 - 1 \cdot 9 + 5$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 27 - 9 + 5$

Étape 3.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $9$ de $- 27$ .

$- 36 + 5$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $- 36$ et $5$ .

$- 31$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $- 3$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$3 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 9 - 2 \cdot - 3$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 - 2 \cdot - 3$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$27 + 6$

Étape 4.3.2

Additionnez $27$ et $6$ .

$33$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = - 31 + 33 (x - - 3)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = - 31 + 33 x + 33 \cdot 3$

Étape 6.1.2

Multipliez $33$ par $3$ .

$L (x) = - 31 + 33 x + 99$

Étape 6.2

Additionnez $- 31$ et $99$ .

$L (x) = 33 x + 68$

Étape 7