Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- 9 x^{2}} x d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 18 x e^{- 9 x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{- 9 x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $e^{- 9 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 9 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 9 x^{2}$ .

$e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$ .

$- 18 e^{- 9 x^{2}} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 18 e^{- 9 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{- 9 x^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{18} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{18} u_{2} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- 9 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{18} e^{- 9 x^{2}} + C$