Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x^{3} + 4 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ .

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 4$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$0 + 4$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12 + 4$

Étape 13.2

Additionnez $- 12$ et $4$ .

$- 8$

Étape 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

Étape 15.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

Étape 15.2.1.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

Étape 15.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

Étape 15.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (- 1) = 1$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 12 \cdot 1 + 4$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12 + 4$

Étape 17.2

Additionnez $- 12$ et $4$ .

$- 8$

Étape 18

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

Étape 19.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Étape 19.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (1) = 1$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(- 1, 1)$ est un maximum local

$(1, 1)$ est un maximum local

Étape 21