Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (- 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x)) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Étape 5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Étape 6

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\tan (x)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$- 2 ((\tan (\frac{π}{3})) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 7.1.2

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$- 2 (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.4

Associez $- 5$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.5

Multipliez $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 7.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.5.2

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.7

Pour écrire $- 2 \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.8

Associez $- 2 \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.10

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.11

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.14

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.15

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.16

Soustrayez $5 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$- 2.25869472 \dots$