Calcul infinitésimal Exemples

$\int (- x^{5} + 6 e^{- 2 x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int - x^{5} + 6 e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 7.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 6}{2} \int e^{u} d u$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 3}{1} \int e^{u} d u$

Étape 11.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 \int e^{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 (e^{u} + C)$

Étape 13

Simplifiez

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{u} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{- 2 x} + C$