Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{4} (3 x - 2) d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Alors $d u = (6 x - 4) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (3 x - 2) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 4 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $6 x - 4$ et $0$ .

$6 x - 4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ comme $\frac{1}{10} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{5} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{1}{10} {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{5} + C$